ЧАСТЬ I

У ИСТОКОВ НАУКИ О ДВИЖЕНИИ

Наука о движении стала складываться, в первую очередь, у народов, оторвавших взор от Земли и устремивших его в небо. Таковыми были уже древние люди, о жизни и достижениях которых мы можем только догадываться, зная беспокойный нрав человека и его предприимчивость в отношении того, что не требует значительных физических затрат. Космос представляет собой природную всем доступную лабораторию, где процессы идут в стерильной чистоте вакуума. Остается только записывать показания. Этим начали заниматься повсеместно, сохранились глиняные таблицы и папирусы со следами первых упражнений. Путешественники, освоившие плавание по Средиземному морю, еще на заре античного мира поражались достижениям погруженных в прошлое цивилизаций.

Астрономия волновала умы предсказаниями небесных событий, она служила опорой власти и занимала своими мистическими тайнами не одно поколение жрецов. Но и изучение движения самых обыденных предметов составляло большой практический интерес. Возьмем хотя бы такое оружие мезолита, как бумеранг. Для овладения его убийственной силой человек должен был провести немало экспериментов, ведущих к обширным познаниям в аэродинамике. Не так то легко пользоваться луком и стрелами, не говоря уж об искусстве кормчего – всегда ценимом в Средиземноморье. Для передачи опыта нужен язык, специальные понятия и особые символы. Он начал складываться из века в век постепенно.

Жрецы первыми познали могущество абстрактных математических моделей. Таблицы данных и правила их обработки превращали человека в чародея, прозревающего будущее. Геометрия возникла из споров вокруг раздела плодородных участков, восстанавливаемых после разливов рек. Синтез наук породил сложные траекторные модели небесных тел. Александрийская школа, занявшись сортировкой кривых, создала учение о конических сечениях, которое использовал Иоганн Кеплер. Траекторные модели наглядны, но громоздки. Опираясь на аналитическую геометрию Декарта (Картезия), Ньютон заложил основы нового исчисления, из свойств которого вырос ньютоново-картезианский детерминизм.

Эпизоды истории науки о движении не просто интересны, они дают ключ к пониманию тенденций развития важной области знаний. Их умело использовал в непревзойденных, по-своему, лекциях А. Н. Крылов. С тех пор, как вышли в свет его книги, прошло более полувека, и усилиями этого автора тоже [15] наука изменилась. Поэтому вводная часть посвящена прогулке в прошлое и современному языку математики.

Творение человека, математика, словно ожившая скульптура, вызывает восторг и замешательство своего создателя.

Таинственной кажется точность ее предсказаний, но за причудливым фасадом, скрывающим от взоров публики тяжкий труд и сомнения, кроется то мастерское копирование черт действительности, которое относят к опыту художественного восприятия действительности. Разве планеты движутся по орбитам, проложенным Кеплером? Нет, и они не подчиняются несовершенным, как выяснилось, законам Ньютона. Соображения Эйнштейна пока не нашли приложения за пределами Солнечной системы и, возможно, будут дополнены другими идеями. Точно также художник сначала создает эскиз, а потом начинает работать над картиной. Анри Пуанкаре флегматично заверил, что значение существующих концепций всегда завышается, хотя их могли бы заменить иные не менее хорошие теории.

Если история науки чему-либо учит, то взгляды на мир будут меняться и впредь. Обычно это связано с нарушением очередного “табу”. Снятие запрета на понимание времени, отличное от образа реки, в которой, кружась и толкаясь, плывут погруженные в нее предметы, вызвало когда-то бурный всплеск мысли. Появилось непривычное представление о том, что причина и следствие – костыли нашего ограниченного сознания [3]. Подобно геометрии, где аксиомы и некоторые теоремы можно поменять местами, четырехмерный континуум пространства-времени статичен и обозреваем, как старый заброшенный дом с щелями, в любом направлении. Не об этом ли смутно толковали античные ученые, берясь за первые наброски реальности? Апории Зенона всколыхнули античный мир так, что и сейчас, спустя более двух тысяч лет, наблюдаются некоторое колебание.

Нет времени – нет и движения. Такого рода абстракции вызывают невольный протест, поскольку они предлагают принять к сведению точку зрения на сущее, собственно, не человека. Но давайте задумаемся, сможет ли тролль, нарисованный на экране дисплея и снабженный, благодаря совершенству компьютера, интеллектом, догадаться об истинном устройстве его “Вселенной”, ставя опыты по падению нарисованных камней с наклонной башни? Даст ли ему повод гордиться собой экспериментально открытый им закон “всемирного” тяготения, и заподозрит ли он когда-либо за своей спиной настоящего автора его гравитации? Есть ли вообще смысл задавать настолько “бессмысленные”, казалось бы, вопросы? Как знать, может быть, в связи с ними рухнет следующий заслон.

Философов давно мучает страшное подозрение, что несовершенные органы чувств обманывают нас, донося ложные впечатления, и, на самом деле, мы живем вовсе не там, где нам кажется. Что бы то ни было, мир велик, любопытен и наполнен занятными деталями.

ГЛАВА 1

ОЧЕРК ИСТОРИИ АНТИЧНОЙ НАТУРФИЛОСОФИИ

Начало истории моделирования человеком окружающего мира скрывается в сумеречных далях седого палеолита. На протяжении сотен тысяч лет люди жили собирательством, охотой и рыболовством, расписывая стены пещер рисунками. В позднем палеолите они пользуются не только огнем, но и колесом, гончарным кругом. Землю постепенно оставляют остатки последнего оледенения, на берегах плодородных рек в Египте и Месопотамии начинается копошение. Народы усиливаются, складываясь в крупные державы. Потребности государств в учете и контроле приводят к первым успехам, возникают причудливые, как мифы, арифметики, притягивающие к себе пришельцев издалека. Космогонические модели требуют тщательного ухода, питающего корни математики.

Вначале слегка тронутое редкими мазками поселений, набирает вес Средиземноморье. К исходу бронзового века очаги старой культуры выгорели, центр событий перемещается на побережье Эгейского моря. В туманной дымке встречает утро Милет, самый южный из двенадцати городов Ионии на западной границе Малой Азии. Здесь живет Фалес, посетивший древние царства и набравшийся восточной премудрости. О его страстном увлечении астрономией знает каждый встречный и охотно расскажет вам о том, как чудак провалился в колодец, наблюдая звездное небо. Под полой походного плаща он принес на родину записи о таинственных египетских дробях, древние астрологические таблицы и желание постичь неизведанное. Фалес заслужил репутацию мудреца, предсказав солнечное затмение 585 г. до н. э.. Своей славой он пробудил в согражданах любопытство.

Ахиллес. Ахиллес – самый быстроногий герой Илиады Гомера. Но и он не в состоянии догнать черепахи. В самом деле, когда скороход достигнет места, в котором черепаха была, она отползет на некоторое расстояние. И так будет повторяться без конца.

Дихотомия. Допустим, что путник хочет пройти некоторое расстояние. Он должен сначала достичь половины пути. Каждая часть пути допускает, в свою очередь, деление пополам, и так до бесконечности, так что движение никогда не сможет начаться.

Попробуйте отложить бесконечное количество поклонов и задайте себе вопрос, когда все это закончится? Никогда, подтвердите вы, ибо в этом состоит суть невыполнимости мероприятия. Аргументы Зенона показали, что доводы разума способны приводить к выводам, диаметрально противоположным наблюдаемым явлениям. Истории свойственно повторяться. На пороге двадцатого века физики уверяли всех, что ничто не способно смутить гармонии нарисованной ими картины мира, пока не получили удар из собственного лагеря. Нашлись отщепенцы, которые заявили, что возраст человека во Вселенной, как и всякой мелкой сошки в ней, зависит от позиции наблюдателя. Самое обидное, что, несмотря на явную бессмыслицу утверждения, будто бы Павел Павлович, сойдя с электрички, найдет своих закадычных приятелей более постаревшими, чем он сам, солидные книги сошлись вдруг во мнении, что так оно и есть на самом деле.

Но, если само время фикция, то в чем виноват Зенон? Он доказывал, что на изменения нужно смотреть философски, и неважно, что его коллеги, урезонивая мастера, молча ходили перед ним. Им было невдомек, что есть таки во Вселенной углы, из которых они видны как застывшие соляные столбики. Позвольте после этого не цитировать Аристотеля, который распял беднягу Зенона за то, что тот не оставил для слушателей пифагорейской лазейки: надо, дескать, оперировать скоростями, а не путями. Пусть этим пользуются школьники. Умозрительная теория в ловких руках оказалась инструментом более опасным, чем бритва.

Изворотливые греки попытались найти рецепт лечения заблуждений ума, сложив миф о Гордиевом узле.

Согласно легенде, Александр Македонский, прохаживаясь по ярмарке, заметил зевак, столпившихся около телег, скрепленных намертво хитрым узлом. Желающие развязать узел отходили сконфуженно. Некий злонамеренный Гордий зарабатывал деньги на ставках, конечно, не совсем честно. Александр ударом меча рассек Гордиев клубок пополам.

У этого мифа и апорий Зенона есть общая часть, касающаяся спорной неразрешимости задачи. Если базироваться на предположении, что Гордий был проходимцем, зарабатывающим на хлеб внешним подобием морского узла, тогда Александр выглядит единственно мудрым в толпе человеком. Работа рассудка его оппонентов не вызывает нареканий, просто их действия изначально неправильно мотивированы. Урок, преподнесенный Зеноном, не прошел зря. После него ученые стали тщательно проверять исходные предпосылки. Особенно досталось всеми ругаемой бесконечности. Однако Евклиду не удалось изгнать ее окончательно из аксиом, на которых построено здание классической геометрии. Неопределенность, присущая и миру, оказалась платой за вход в него.

Странное, что проступает при ознакомлении с хронометражем Земли, состоит в том, что в ее громадном по протяженности прошлом с легкостью могло бы уместиться множество цивилизаций, подобных нашей. Двести пятьдесят миллионов лет длится господство динозавров. В некоторых своих чертах они должны были достичь немыслимого совершенства. Кроме того, почва обязана быть нашпигована их останками. Неутомимый Фридрих фон Уене искал динозавров от Америки до Африки, а нашел кости чудовищного зверя в 48 километрах от места своего рождения в Тюбингене (Германия). Не путайте замерзших в Сибири мамонтов с древними монстрами. Динозавры вымерли шестьдесят миллионов лет тому назад, причины их ухода неясны. Последнее оледенение законсервировало животных каменного века, который отстоит от нас недалеко – рукой подать.

= VIII = 8

В александрийский период изучению географии и астрономии посвятили себя Эратосфен, Аполлоний, Аристарх, Гиппарх, Птоломей и десятки других светил эллинской науки. Все это способствовало тому, что александрийцы создали астрономическую теорию, которая на протяжении пятнадцати столетий оставалась непревзойденной.

Эратосфен (родился примерно в 276 г. до н. э.) известен тем, что измерил радиус Земли, заглянув в колодец.

В день летнего солнцестояния в Сиене, ныне Асуан, в полдень солнечные лучи освещали дно глубокого вертикального колодца, в то время как в Александрии стержень солнечных часов отбрасывал в полдень короткую тень. Сопоставив эти два факта, ученый решил подкрепить свои догадки относительно формы Земли вычислениями. Предположим, что солнечные лучи в Александрии и Сиене практически параллельны. Перед нами фигура, которая предстала мысленному взору Эратосфена:

Сиена отстоит от столицы на 5000 стадий, будучи примерно на том же меридиане. Тщательно юстированные солнечные часы позволяют по тени стержня измерить главное, что нужно геометру, – угол между солнечным лучом и земной поверхностью в Александрии. Решив геометрическую
задачу, Эратосфен показал, что расстояние между городами, отложенное по поверхности земного шара, должно составлять 1/50 окружности Земли. Отсюда он нашел длину окружности Земли равной 250 000 стадий, что соответствует приблизительно 39 690 км.

В теории чисел известно “решето Эратосфена”. Сначала берется крупное решето, через него выпадает все, что делится на два. Затем более мелкое отсеивает все, что делится на три, и т. д. Сухой остаток – простые числа, делятся только сами на себя. Блестяще образованный даже для грека ученый, не довольствуясь успехами в математике, астрономии и географии, выступал также на поприще поэзии, истории, грамматики и литературной критики и был удостоен почетного прозвища “Бета” (по названию второй буквы греческого алфавита) за то, что во всех этих областях знания уступал лишь сильнейшим.

Аристарх Самосский (родился в 310 г. до н. э.) вычислил расстояния до Луны и Солнца следующим занятным образом.

Астроном наблюдает восход Луны и определяет угол между направлениями на нее и на некоторую неподвижную звезду. Положение далекой звезды не зависит от вращения Земли. Другое дело, более близкий к нам спутник, уже через 12 часов наблюдатель фиксирует его на новом месте. Этого вполне достаточно для расчета расстояния до Луны, Аристарх нашел его равным 56 радиусам Земли (действительное – 60,2 радиуса Земли). Оценивая расстояние до Солнца, астроном определяет угол между направлениями на него и на Луну в тот момент, когда спутник Земли находится в квадратуре, т.е. видна четверть Луны. Тогда космические тела расположены строго по углам прямоугольного треугольника, о котором теперь многое что известно. Оружием Аристарха был великолепный труд Евклида, написанный несколькими десятилетиями ранее.

Евклид занимался, собственно, оптикой. С его подачи в совершенных солнечных лучах геометры видят прямые линии.

Сплотивший ученых Египет располагал колоссальными сведениями о движениях планет. Находки Аристарха Самосского не помогли устоять гелиоцентрической системе. Траектории небесных тел не укладывались в круговые орбиты, а другие кривые не отвечали эстетическим вкусам греков. Клавдий Птоломей заметил, что Солнце обращается не столько вокруг Земли, сколько вокруг точки рядом с нею. Позднее это служило косвенным указанием на место расположения бога, сотворившего все сущее и любующегося им. Для того, чтобы теория не расходилась с практикой, поднаторевшие в геометрии эллины придумали эпициклы: так, задолго до рядов Фурье, возник метод последовательных приближений. Ныне им пользуются всякий раз, когда природа сигнала непонятна, не забывая поругивать древних за их щепетильность, ибо эллипс был им знаком.

Ведущая скрипка в космогонических учениях принадлежит Пифагору. Изучая резонансные явления, он обнаружил, что гармонические созвучия рождают струны, длины которых дают целые отношения. Это лишний раз подтверждало величие теории числа, построенной на процедуре деления. Понятие красоты сопричастно божественному вдохновению. Для того, чтобы постичь законы Вселенной, человек должен подняться от арифметики и геометрии к музыке и астрономии. Сложился “квадривиум”, первая концепция образования, которую мы находим у Платона, ученика Сократа. Предполагалось, что планеты в кружении издают гармоничные созвучия, иначе небеса уподобились бы иррациональной Земле. Парадоксально, но факт, что поиски музыки небесных сфер вывели Кеплера и Ньютона на закон всемирного тяготения и теоретическую механику.

На первом месте среди создателей механики стоит Архимед. Он родился в 287 г. до н. э. в Сицилии, в городе Сиракузах. Образование получил в Александрии, научная переписка связывала его с Эратосфеном. В покровительстве Архимед не нуждался, он был родственником царя Гиерона. Когда римляне осадили Сиракузы, они столкнулись с дьявольской изобретательностью этого неординарного ума. Предоставим слово Плутарху.

“При двойной атаке римлян сиракузцы онемели, поражённые ужасом. Что они могли противопоставить таким силам, такой могущественной рати? Архимед пустил в ход свои машины. Сухопутная армия была поражена градом метательных снарядов и громадных камней, бросаемых с великою стремительностью. Ничто не могло противостать их удару, они всё низвергали пред собою и вносили смятение в ряды. Что касается флота – то вдруг с высоты стен брёвна опускались, вследствие своего веса и приданной скорости, на суда и топили их. То железные когти и клювы захватывали суда, подымали их на воздух носом вверх, кормою вниз, и потом погружали в воду. А то суда приводились во вращение и, кружась, попадали на подводные камни и утёсы у подножья стен. Большая часть находившихся на судах погибала под ударом. Всякую минуту видели какое-нибудь судно поднятым в воздухе над морем. Страшное зрелище! Судно поворачивается из стороны в сторону, люди валятся, как бы пускаемые из пращи. Опустошённое судно или разбивается о стены, или погружается в море, будучи выпушено машиною.

Марцелл придвинул на большом помосте машину, называвшуюся самбук, по сходству с музыкальным инструментом этого имени. Когда она приближалась к стене и была ещё довольно далеко, Архимед пустил в неё камень весом в десять талантов, затем другой, третий. Камни, как бурею несомые, попадали в машину, ударялись в помост и разбивали его. Марцелл, не зная, что делать, поспешил увести флот и дал приказ войску на суше отступить. Был собран совет; порешили, если будет можно, ночью подойти под самые стены. Машины Архимеда с их огромною силою будут – думали – бросать снаряды так, что они пролетят над головами осаждающих, не попадая в них. Но Архимед давно заготовил приспособления на этот случай. Он расположил и такие машины, которых действие сопряжено было с расстоянием и которые почти без перерыва выбрасывали короткие копья. В стенах сделаны были многие дыры, чрез которые действовали на близком расстоянии скорпионы, невидимые неприятелем.

Достигнув стен, римляне воображали себя в безопасности, но они были под ударами. Камни падали на них сверху, стены – отовсюду пускали в них копья. Они было удалились, но машины слали новые метательные снаряды и поражали отступающих. Много погибло, суда сталкивались между собою, и осаждаемым причинить какой-либо вред было нельзя. Большая часть машин Архимеда была за стенами. Невидимая рука бросала тысячи зол в римлян: они боролись с богами. Сам Марцелл ускользнул от опасности. Подсмеиваясь над своими инженерами, он говорил: “Не перестать ли нам воевать с этим геометром Бриарием, который принимает корабли наши за ковши для черпания воды, разбивает самбук и превосходит сторуких мифологических великанов, бросая столько копий за раз”. Действительно, население Сиракуз было телом, а Архимед – душою, проводившей все машины в движение. Все другие орудия бездействовали: только его употреблялись и для нападения, и для защиты. Под конец страх римлян сделался так велик, что как только увидят конец верёвки, бревно над стенами, обращаются в бегство, крича: “ещё машина Архимеда против нас!”

Циклопические пирамиды Египта свидетельствуют о знакомстве населявших его народов с клином и рычагом. Изображения чашечных весов и колодезного “журавля” (шадуф) встречаются в египетских папирусах [4]. Склонных к математическим изыскам александрийцев грубый рычаг мог заинтересовать законом пропорций, позволяющим дополнить популярные со времен Пифагора исследования рационального и иррационального наглядными механическими иллюстрациями. К теме рычага обращался не только прославленный купанием в ванне и битвами Архимед, но также астроном и геометр Евдокс. Позднее Папп Александриец (годы деятельности 305–284) подведет итог изучению свойств статических машин, указывая, что все сводится к пяти простым приспособлениям: ось с колесом (ворот), рычаг, полиспаст, клин и бесконечный винт, см. рис. 1.1.

Водные процедуры Архимеда имели далеко идущие последствия. Сын брадобрея, искусный изобретатель Ктезибий, жил во II веке до н. э.. Он
изготовил водяные часы с указателем, водяной орган, а также пожарную машину. Его ученик, Герон Александрийский, построил реактивную паровую “мельницу”. Исследуя сифоны, он набрел на идею водного компаратора. Устройство прибора изображено на рис. 1.2., передающем детали игрушки “поющая птичка”. Сифон представляет собой трубку, которая вставлена в дно кастрюльки. На трубку надета перевернутая пробирка.
Кастрюлька медленно заполняется водой через воронку. Когда вода в пробирке достигает края трубки, возникает коленный ствол, каким часто пользуются шоферы. Кастрюлька опоражнивается. Приводимая механизмом в действие птичка свистит, когда сова на нее не смотрит.

В начале XIX века сортировать числа принялся сын садовода, Карл Фридрих Гаусс, переняв привычки селекционера у трудолюбивого отца. Своими работами он прославил Геттингенский университет, ставший с тех пор центром притяжения для математиков. Примерно в те же годы Эварист Галуа создал необычную арифметику над конечным набором элементов. Его таблица умножения четырех “чисел”, содержащая в клетках только сомножители, производит неизгладимое эстетическое впечатление. В общем, алгебраисты в смелости поисков не уступали основоположникам неевклидовой геометрии. Уильям Гамильтон понял, что в угоду сложности суперкомплексного числа, кватерниона, придется пожертвовать коммутативным законом арифметики ABº BA. Он отсек одну ветвь, Давид Гильберт принялся за другие: данные им бледными едва различимыми красками трансфинитные абстракции бесполезно увеличивать, от суммирования они не возрастают, по определению Aº A+1.

“1 есть положительное целое число; за каждым положительным целым числом следует ровно одно и только одно положительное целое число; ни за каким положительным целым числом не следует 1; за разными положительными целыми числами следуют разные положительные целые числа; пусть некое утверждение выполняется для числа 1, и пусть всякий раз, как это происходит для некоторого положительного целого числа, оно выполняется и для следующего за ним числа, тогда это утверждение распространяется и на все положительные целые числа.”